二次の整数環Z[√5]において3が既約であることが示せま

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二次の整数環Z[√5]において3が既約であることが示せま。a+b√5∈Z[√5]に対しNa+b√5=a+b√5a。代数学に関する質問です 二次の整数環Z[√5]において3が既約であることが示せません 分かる方解説お願いします

a+b√5∈Z[√5]に対しNa+b√5=a+b√5a-b√5=a2-5b2と定義します。これはノルムと呼ばれるものです。代数的数mに対しZ[m]を考えるときにはこのようにノルムを考えるのが一般的です。α,β∈Z[√5]に対し、Nαβ=NαNβとなります。αがZ[√5]の元として3を割り切るならば、先の定理よりNαは整数としてN3=9を割り切ります。つまりNα=±1,±3,±9です。Nα=±1となるαは単数です。α=a+b√5としてa+b√5a-b√5=1ならば、a-b√5が逆元となります。a+b√5a-b√5=-1ならば、-a+b√5が逆元です。Nα=3となるα=a+b√5は存在しません。存在すればa2=5b2+3となるわけですが、modで考えればa2 ≡ 3mod 5です。a≡1ならばa2≡1, a≡2ならば a2≡4, a≡3ならa2≡4, a≡4ならばa2≡1であるために、そのようなaは存在しません。Nα=-3となるα=a+b√5は存在しません。同様にa2≡-3≡2mod 5ですが、上でも見たようにそうなるaはありません。準備は整いました。3が可約であるとすると3=αβとなる単数でない元α,βが存在します。このときNαNβ=9です。しかしNα,Nβは±3にならないので少なくとも一方は±1です。これは単数ではないことに矛盾します。よって3は既約です。α∈Z[√5]が単元であるための必要十分条件は、ノルムNについてNα=±1となることです。N3=9なので3は単元ではありません。3=αβという分解を与えるとき9=NαNβであり、αかβのどちらかが単元になるためにはNα=9とはならないことを示せばよいです。これはa^2+5b^2=9の整数解a,bが存在しないことから従います。

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