不等式の扱いについて l_∞としてはさみうちで等号を示そ

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不等式の扱いについて l_∞としてはさみうちで等号を示そ。x∈?q。x=(x_1,x_2, ,x_n, )に対して、 x l_pをp→∞としたときに、 x l_∞であることの証明で、 x l_∞≦liminf x l_p≦limsup x l_p≦ x l_∞としてはさみうちで等号を示そうと思っているのですが、 x l_∞≦liminf x l_pの方は示せたのですが、limsup x l_p≦ x l_∞の方が示せなくて困ってます 不等式の扱いについて。ここでなんですが。実は解答ではここの記号が>ではなく証明で指示されて
いる≧になっていました。もちろん理由となると不等式の両辺の極限を
とった場合一般に等号が入ると考えて良いんですね! はい。その標準数列の極限ガウス記号。広告 ※ お知らせ。筑駒中入試の整数問題を数学の問題と思って解く。
という動画を公開しました。こうしたことをきちんと示すためには。基本
数列の極限とはさみうちの原理で見た内容が役に立ちます。このような形で。
しかも。ルートが含まれていることから。標準数列の極限#有理化で見た内容
が使えそうです。厳密に示すには。はさみうちの定理を使う必要があるため。
はさみうちの定理を使う問題として試験で出題されることがあります。

x∈?q 1≦q+∞ ? lim_{p→∞} ‖x‖_p = ‖x‖_∞を証明します。① xl_∞ ≦ liminf_{p→∞} xl_p であること:これは xl_∞ ≦ xl_p,?p ≧ 1 より。② limsup_{p→∞} ‖x‖_p ≦‖x‖_∞ であること:x=xn = 0 ならば自明なので,x≠0 とします。x=xn∈?q より、任意に固定した ε0,ε‖x‖_∞ に対して?N ; [Σ_{nN} xn^q]^1/qεを満たす自然数 N が存在します。このときnN ? xnε‖x‖_∞なので‖x‖_∞ =Max {x1, x2, ???, xN}であることに注意します。さらに0st+∞ ? Σ_j aj^t^1/t ≦ Σ_j aj^s^1/s, ?aj≧0にも注意します。即ち ‖aj‖_t ≦ ‖aj‖_s です。今 pq とします。このとき‖x‖_p ≦ [Σ_{n≦N} xn^p]^1/p+ [Σ_{nN} xn^p]^1/p≦ ‖x‖_∞ [Σ_{n≦N} 1]^1/p+ [Σ_{nN} xn^q]^1/q= ‖x‖_∞ N^1/p + ε ここで N^1/p → 1 p → +∞ なので、 limsup_{p→∞} ‖x‖_p ≦‖x‖_∞ + εが言えます。ε0 は任意なので limsup_{p→∞} ‖x‖_p ≦‖x‖_∞が成り立つことが分かります。

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